백준 2501번: 약수 구하기 (C++)

문제

어떤 자연수 p와 q가 있을 때, 만일 p를 q로 나누었을 때 나머지가 0이면 q는 p의 약수이다.

6을 예로 들면

6 ÷ 1 = 6 … 0
6 ÷ 2 = 3 … 0
6 ÷ 3 = 2 … 0
6 ÷ 4 = 1 … 2
6 ÷ 5 = 1 … 1
6 ÷ 6 = 1 … 0

그래서 6의 약수는 1, 2, 3, 6, 총 네 개이다.

두 개의 자연수 N과 K가 주어졌을 때, N의 약수들 중 K번째로 작은 수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

• 입력
  • 첫째 줄에 N과 K가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. N은 1 이상 10,000 이하이다. K는 1 이상 N 이하이다.
• 출력
  • 첫째 줄에 N의 약수들 중 K번째로 작은 수를 출력한다. 만일 N의 약수의 개수가 K개보다 적어서 K번째 약수가 존재하지 않을 경우에는 0을 출력하시오.

코드

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(void){
    int n, k;

    cin >> n >> k;

    vector<int> v;

    for (int i = 1; i*i <= n; i++){
        if (n % i == 0) v.push_back(i); 
    }

    for (int i = v.size() - 1; i >= 0; i--){
        if (n / v[i] != v[i]) v.push_back(n / v[i]);
    }

    if (v.size() < k) cout << 0 << endl;
    else cout << v[k - 1] << endl;

    return 0;
}

접근 및 풀이

이번 문제는 소수와 약수 관련 문제 풀 때 나중에도 참고하면 좋을 것 같아서 써둔다.

일반적으로 소수 (1과 자신 이외의 숫자로는 나누어지지 않는 자연수)를 구한다고 할 때 \(n\)이라는 자연수가 있다 가정하면 \(n\) 이하의 모든 자연수를 직접 나누어 보고, 나누어 떨어지는 수가 없는지 확인하는 방법을 쓸 수 있다. 하지만 이 방법은 시간복잡도 \(O(n)\)의 value가 사용되고 이는 수가 커질수록 비효율적이게 된다.

그러면 더 빠르게 소수를 구할 수 있는 방법은 무엇이냐? \(\sqrt{n}\) 이하의 모든 자연수를 나누어보는 방법이다. 소수를 구하는 방법이나 약수를 구하는 방법이 거의 흡사한데, 약수의 경우를 생각해보면 계산이 대칭임을 알 수 있다. 따라서 \(\sqrt{n}\)까지만 구해보면 시간복잡도 \(O(\sqrt{n})\)의 value만 사용하고도 판별을 할 수 있게 된다.